学生専用のクレジットカードのほとんどは、契約時の卒業予定年月を過ぎると、所定の時期に自動的に同じ会社の一般カードに切り替わります。
そのため、こちらから何か特別な手続きをする必要はありません。

一般カードに切り替わると、年会費や最高限度額、サービス内容が変わる場合があります。
自分の作ろうとしているクレジットカードが、卒業後どのカードに変わるのか、切り替え先の詳細も確認しておくと良いでしょう。

また、学生カードから一般カードに切り替わる際に、新たに審査を行うということもありません。

クレジットカードを作ったのですから、それまでに少なからず利用している場合がほとんどでしょう。
延滞なくきちんと入金が行われていれば、切り替え時にカード会社が渋る理由はありません。むしろぜひ卒業後も使ってください、という思いのはずです。そのための学生向けクレジットカードなのですから…。